Volume

Volume de um sólido é a quantidade de espaço que esse sólido ocupa. Nesse cálculo, temos que ressaltar as três dimensões do sólido, observando o seu formato. O entendimento de volume é usado, mesmo que intuitivamente, em nossas ações no dia-a-dia, por exemplo: antes de estacionar um carro, calculamos mentalmente o espaço do carro e verificamos se tal espaço é compatível com as dimensões do carro, ao instalar uma TV em um móvel, conferimos, primeiro, se o espaço disponível pode comportar a TV, entre outros exemplos.

Alguns sólidos geométricos são formados por polígonos e esses polígonos recebem o nome de faces do polígono. Já o segmento que une duas faces do polígono recebe o nome de aresta do sólido. Assim como no cálculo da área, o cálculo do volume de um sólido depende do formato do sólido. Mas, de forma geral, o volume de um sólido geométrico é calculado a partir do produto de sua base por sua altura. Por enquanto, calcularemos o volume de alguns sólidos, como: o paralelepípedo retângulo, o cubo e o cilindro.

Paralelepípedo Retângulo



O paralelepípedo retângulo é um sólido cujas seis faces são retângulos. Para calcular o volume do paralelepípedo retângulo é necessário fazer o produto da área de sua base pela altura. Mas, como a base do paralelepípedo retângulo tem o formato retangular, exprimimos o valor de sua área por b x c. Portanto, se multiplicarmos o valor da área da base pela altura (a) do paralelepípedo retângulo, acharemos o valor do volume (V) desse sólido:

V = a x b x c

Cubo



O cubo é um sólido geométrico cujas seis faces são quadrados de mesmo lado. Para calcular o volume do cubo é necessário fazer o produto da área de sua base pela altura. Mas, como a base do cubo é um quadrado de lado a, o valor de sua área é, então, definido pelo lado ao quadrado (a²). Sendo assim, se multiplicarmos o valor da área da base pela altura (a) do cubo, acharemos o valor do volume (V) desse sólido:

V = a x a x a ou V = a³






Cilindro



Cilindro é um sólido geométrico que pode ser entendido como um círculo prolongado até uma altura h. O cilindro possui duas faces iguais e de formato circular. Para calcular o volume do cilindro, deve-se fazer o produto da área de sua base pela altura. No caso do cilindro, sua base é um círculo, portanto a área de sua base é igual a (pi) x r². Multiplicando esse valor pela altura (h) do cilindro, achamos o seu volume (V):

V = (pi) x r² x h

Área

Área é a região plana interna delimitada pelos lados de um polígono. Tal conceito é amplamente usado no dia-a-dia, como na medição de um terreno, na delimitação de um espaço, entre outros. O valor da área de um polígono varia de acordo com seu formato.

Cada polígono tem uma forma peculiar para calcular sua área. Exemplificaremos alguns conhecidos, tais como: retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, trapézio, losango e círculo.

Retângulo



Já sabemos que o retângulo possui dois lados iguais chamados de base e outros dois lados iguais chamados de altura. Para sabermos o valor da área de um retângulo (A), devemos multiplicar a medida da base (b) pela medida da altura (h).

A = b x h

Quadrado



No quadrado, podemos aplicar o mesmo raciocínio usado para calcular a área do retângulo, multiplicando a medida da base pela medida da altura, mas, como no quadrado a medida de todos os lados é igual (l):

A = l x l ou A = l²


Paralelogramo



Se observarmos a figura ao lado, podemos notar que o paralelogramo é semelhante a um retângulo com os lados inclinados. Se tirarmos uma das partes inclinadas do paralelogramo e a enxertarmos no outro lado, formaremos um retângulo. Assim, a área do paralelogramo é calculado da mesma forma da área do retângulo, ou seja, multiplica-se o valor da base (b) pelo valor da altura (h).

A = b x h

Triângulo



No caso do triângulo, pode-se notar que ele é exatamente metade de um retângulo, portanto, num retângulo cabem dois triângulos, ambos de mesma área. Por conseguinte, a área do triângulo é metade da área do retângulo, ou seja:

A = b x h / 2

Losango



Ao traçar as diagonais, maior (D) e menor (d) do losango, o dividimos em quatro triângulos de áreas iguais, onde cada um tem a oitava parte da área do retângulo de base igual ao valor da diagonal menor do losango e de alura igual ao valor da diagonal maior. Logo, a área do losango é igual a quatro vezes a área de um dos quatro triânglos, resultando na metade da área desse retângulo. Portanto:

A = D x d / 2






Trapézio



Dado um trapézio, como o da figura ao lado, contendo a base menor (b), a base maior (B) e a altura (h). Se ao lado desse trapézio colocarmos um segundo trapézio, idêntico ao primeiro, mas invertido, ou seja, sua base menor voltada para cima e sua base menor voltada para baixo, formaremos um paralelogramo de base igual à soma das bases do trapézio e de mesma altura do trapézio. Assim, encontramos a área desse paralelogramo multiplicando sua base pela altura. Note que o valor achado é igual a área dos dois trapézios idênticos. Portanto, para calcular a área do trapézio, basta dividir o valor encontrado para a área do paralelogramo.

A = [(B + b) x h] / 2

Círculo



Considere um círculo de raio r. Divida-o em várias partes iguais, corte-o de forma que os pedaços sejam de formato triangular e abra a figura, formando um retângulo de base igual a 2x(pi)x r e altura igual ao próprio raio r do círculo. Portanto a área desse retângulo é achada multiplicando sua base pela altura. Deve-se notar que a área desse retângulo é o dobro da área do círculo, sendo assim, acha-se a área do círculo dividindo a área do retângulo por 2.

A = (pi) x r²

Perímetro

Perímetro é a soma das medidas dos lados de um polígono. Notoriamente, tal conceito é muito simples, basta verificar se todos os lados estão representados pelas mesmas unidades de comprimento e somá-los. Alguns casos valem ser ressaltados:

Retângulo



No retângulo, a medida de suas duas bases (b) são iguais, assim como a medida de suas duas alturas (h). Como perímetro é a soma de todos os lados, portanto seu perímetro é:

P = 2 x b + 2 x h

Polígonos Regulares

Nos polígonos regulares, tem-se uma particularidade: a medida de todos os lados é semelhante. Assim, o perímetro desses polígonos será o produto do número de lados (n) pela medida do lado (l), ou seja:

P = n x l

Medidas de Volume

Quando falamos de medidas de volume, tem-se que mencionar que tal conceito vem sendo usado desde a antiguidade e, atualmente, convive-se com ele no dia-a-dia. Diversas são as atividades onde são usados o conhecimento sobre volume, como na construção de uma barragem, faz-se necessário calcular o volume de concreto para a obra; em um caminhão de transporte, onde é necessário conhecer o volume de carga total desse caminhão; na construção de uma piscina, onde é preciso conhecer o volume de água que a piscina suporta; em um botijão de gás, onde nele está marcado o volume de gás que ele contém, etc.

A unidade padrão de volume é o metro cúbico (m³), já que a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Para calcular o valor de um volume, pode-se usar os múltiplos ou submúltiplos da unidade padrão de volume, se o valor for muito maior ou menor de que o metro cúbico, respectivamente. Os múltiplos são o quilômetro cúbico (km³), o hectômetro cúbico (hm³) e o decâmetro cúbico (dam³); os submúltiplos são o decímetro cúbico (dm³), o centímetro cúbico (cm³) e o milímetro cúbico (mm³).


Cada unidade de medida de volume vale 1000 vezes a unidade imediatamente inferior. Para fazer-se uma mudança de unidade entre as medidas de volume, deve-se multiplicar, se a mudança for de uma unidade maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor para uma maior, dependendo do número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento um pouco mais viável, pode-se deslocar a vírgula para a esquerda ou direita, dependendo da mudança. Para cada unidade mudada, a vírgula se desloca três casas decimais para a esquerda ou para a direita.

Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 1000 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca três casas decimais para a direita.
Ex: 0,0059 cm³ para mm³
Haverá a mudança para uma unidade de volume inferior, assim, desloca-se a vírgula três casas para a direita.
Portanto, o valor será de 0,0059 x 1000 = 5,9 mm³

Menor -> Maior: deve-se dividir por 1000 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca três casas decimais para a esquerda.
Ex: 526000 dm³ para dam³
Haverá a mudança para duas unidades de volume superiores, assim, desloca-se a vírgula seis casas para a esquerda.
Portanto, o valor será de 526000 : 1000000 = 0,526 dam³

Medidas de Superfície

Não se sabe ao certo quando foi usado pela primeira o cálculo da área de uma superfície. O que se sabe é que é algo muito antigo, antes mesmo de Cristo. No Egito Antigo, essa noção era utilizada para calcular o valor do imposto que um agricultor tinha que pagar ao faraó pelo uso da terra nas proximidades do rio Nilo. O valor de tal imposto era proporcional à extensão de terra que o agricultor possuía.

Atualmente, podemos citar vários exemplos de aplicação do cálculo da área de uma superfície: para saber a extensão de um terreno rural ou urbano, para estimar a área da superfície de um rio, para calcular o valor da área de uma figura geométrica, etc.

Como a unidade padrão de comprimento é o metro (m), a unidade padrão de superfície é o metro quadrado (m²). Assim como na unidade de comprimento, a unidade de superfície tem seus múltiplos e submúltiplos, que são usados para medir superficies maiores ou menores do que o metro quadrado. Os múltiplos são o quilômetro quadrado (km²), o hectômetro quadrado (hm²) e o decâmetro quadrado (dam²); os submúltiplos são o decímetro quadrado (dm²), o centímetro quadrado (cm²) e o milímetro quadrado (mm²).


Cada unidade de medida de superfície vale 100 vezes a unidade imediatamente inferior. Para fazer-se uma mudança de unidade entre as medidas de superfície, deve-se multiplicar, se a mudança for de uma unidade maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor para uma maior, dependendo do número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento mais simples, pode-se deslocar a vírgula para a esquerda ou direita, dependendo da mudança. Para cada unidade mudada, a vírgula se desloca duas casas decimais para a esquerda ou para a direita.

Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 100 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca duas casas decimais para a direita.
Ex: 0,09 m² para cm²
Haverá a mudança para duas unidades de superfície inferiores, assim, desloca-se a vírgula quatro casas para a direita.
Portanto, o valor será de 0,09 x 10000 = 900 cm²

Menor -> Maior: deve-se dividir por 100 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca duas casas decimais para a esquerda.
Ex: 2000 dm² para hm²
Haverá a mudança para três unidades de superfície superiores, assim, desloca-se a vírgula seis casas para a esquerda.
Portanto, o valor será de 2000 : 1000000 = 0,002 hm²

Medidas de Comprimento

Durante muito tempo as unidades de medida eram muitas, variavam de acordo com o povoado. Por exemplo: um povoado mais ao Norte usava um palmo de mão como referência para medir comprimento e um outro povoado mais ao Sul usava o pé como unidade. Assim, tornava-se inviável estabelecer relações comerciais, o que impedia o progresso de grande parte dos povoados. Devido a essa dificuldade, tornou-se necessário estabelecer uma unidade padrão de comprimento, algo que fosse aceito por todos. Isso aconteceu no final do século XVIII, quando reformadores franceses escolheram uma comissão de cinco matemáticos para que elaborassem um sistema padronizado, foi quando definiu-se o metro (m) como unidade internacional de comprimento e seu valor é igual a fração 1/300.000.000 da distância percorrida pela luz, no vácuo em um segundo.

Dependendo do que vai ser medido, fica inviável medir usando o metro. Portanto deve-se usar medidas maiores ou menores do que o metro, múltiplos ou submúltiplos, respectivamente. Os múltiplos são o quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam). Já os submúltiplos são o decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).


Para fazer-se uma mudança de unidade entre as medidas de comprimento, deve-se multiplicar, se a mudança for de uma unidade maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor para uma maior, dependendo do número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento mais simples, pode-se deslocar a vírgula para a esquerda ou direita, dependendo da mudança.

Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 10 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca uma casa decimal para a direita.
Ex: 3,7 dm para mm
Haverá a mudança para duas unidades de comprimento inferiores, assim, desloca-se a vírgula duas casas para a direita.
Portanto, o valor será de 3,7 x 100 = 370 mm

Menor -> Maior: deve-se dividir por 10 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca uma casa decimal para a esquerda.
Ex: 680 cm para dam
Haverá a mudança para três unidades de comprimento superiores, assim, desloca-se a vírgula três casas para a esquerda.
Portanto, o valor será de 680 : 1000 = 0,68 dam

História

As primeiras considerações humanas a respeito da Geometria originaram-se da necessidade de "medir a terra". As atividades incluíam observações, comparações e relações entre formas e tamanhos.

Podemos observar diversos momentos em que a Geometria foi empregada pelos povos considerados primitivos: na construção de objetos de decoração, de utensílios, de enfeites e na criação de desenhos para a pintura corporal. Formas geométricas, com grande riqueza e variedade, aparecem em cerâmicas e pinturas de diversas culturas. Nestas manifestações artísticas já apareciam formas como triângulos, quadrados e círculos, além de outras mais complexas.

Mas, somente no período grego, entre 600 e 300 a.C., que a Geometria se firmou como um sistema organizado, e muito disso se deve a Euclides de Alexandria, professor, matemático e escritor, que publicou, por volta de 325 a.C., Os Elementos, uma obra com treze volumes, propondo um sistema inédito no estudo da Geometria.